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这是刘汝佳的紫书中”DAG 中的动态规划”中的习题,我拿它用来熟悉 DAG 中的动态规划。

我们不妨进行逆向考虑:现堆上面的方块,然后考虑在下面进行叠加。这样子一来,影响决策的就只是最下面方块的尺寸了。

对于这种出现了”大套小”这样的二元关系的题,我们可以将其视为一个有向无环图:其中每个节点为一个状态,状态的转移是有固定的方向的(在此题中,状态转移为从小的方块到大的方块)。

但是这道题又不同于平常的 DAG 动态规划:若将边长视为状态的话,则要开一个巨大的数组,这是不可以接受的。因此,我们要换一种思维方式:只记录方块的序号和摆放的方式(如现将边长从小到大进行排序,然后用一个标志 k 表示当前是以第 k 小的边长作为高)。

至此,思路已经清晰了。用 $dp(i, k)$ 表示 “第 i 个方块以第 k 条边为高进行摆放” ,以下给出状态转移方程:

$$dp(i, k) = max\{dp(i, k), dp(j, k_2)\}$$

其中 $j,k_2$ 遍历所有顶面矩形比 $dp(i, k)$ 小的状态。

代码实现首次尝试了 Pascal 中的 object 类型,使其更加工整,但不可避免地损耗了一些性能。

type
Cube = object
a: array [1..3] of longint;
procedure init(x,y,z: longint);
function height(k: integer): longint;
function low(k: integer): longint;
function high(k: integer): longint;
end;

function max(x,y: longint): longint;
begin
if x>y then max := x else max := y;
end;

procedure swap(var x,y: longint);
var
t: longint;
begin
t := x;
x := y;
y := t;
end;

function Cube.height(k: integer): longint;
begin
height := self.a[k];
end;

function Cube.high(k: integer): longint;
begin
case k of
1: high := a[3];
2: high := a[3];
3: high := a[2];
end;
end;

function Cube.low(k: integer): longint;
begin
case k of
1: low := a[2];
2,3: low := a[1];
end;
end;

procedure Cube.init(x, y, z: longint);
begin
if x>y then swap(x,y);
if y>z then swap(y,z);
if x>y then swap(x,y);
a[1] := x;
a[2] := y;
a[3] := z;
end;

var
f: array [1..30, 1..3] of longint;
i,j,m,n,x,y,z: longint;
cnt: longint;
cubes: array [1..30] of Cube;

function dp(id, k: integer): longint;
var
l, h, hi: longint;
i, j: integer;
begin
if f[id, k] > 0 then
exit(f[id, k]);
l := cubes[id].low(k);
hi := cubes[id].height(k);
h := cubes[id].high(k);

f[id, k] := hi;

for i := 1 to n do
begin
//if i = id then continue; //此处在一开始时忘记考虑了立方体有无穷多个这一条件。
for j := 1 to 3 do
begin
if not ((cubes[i].low(j) < l) and (cubes[i].high(j) < h)) then
continue;
f[id, k] := max(f[id, k], dp(i, j)+hi);
end;
end;

dp := f[id, k];
end;

begin
assign(input, 'main.in');reset(input);
assign(output, 'main.out');rewrite(output);
read(n);
cnt := 0;
while n > 0 do
begin
inc(cnt);
for i := 1 to n do
begin
read(x,y,z);
cubes[i].init(x,y,z);
end;
fillchar(f, sizeof(f), 0);

m := 0;
for i := 1 to n do
for j := 1 to 3 do
m := max(m, dp(i, j));

writeln('Case ', cnt, ': maximum height = ', m);

read(n);
end;
close(input);close(output);
end.