NOIP2013 Day1 火柴排队：快速求逆序对
题目
涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为： $$\sum_{i=1}^{n}{(a_i-b_i)^2}$$
其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
分析
这真是一道好题——断断续续想了几天才完全 AC。
事实上，由排序不等式可知：
$$当 a_i, b_i 从小到大排序时，距离最小$$
这是一个重要的信息。因此，我们只需把 $a_i,b_i$ 进行排序，并把对应项“捆绑”成一项，再按 $a_i$ 原有的顺序进行复原，此时，可以得到由 $b_i$ 原先的下标组成的一个序列。也就是说，我们要求 $1,2,\ldots,n$ 至少经过多少步才能变为该序列。这可以用逆序对来解决。
只可惜，传统的逆序对算法时间复杂度为 $O(n^2)$，这里 $n$ 可达 $200000$，一定会超时 1。因此我们需寻求更好的算法。
用归并排序求逆序对
在归并排序的过程中，有一个步骤称为合并。在这个步骤中，需要轮流判断左右区间的第一个数的大小关系。注意到：左右区间已经有序，从而若左区间的第一个数大于右区间的第一个数，则左区间之后的所有数都大于右区间的第一个数，从而我们可以在合并时做一些修改：
procedure nx(l, r: longint);
var
mid, i, j, k: longint;
begin
if l = r then
begin
tmp[l] := a[l];
exit;
end;
mid := (l + r) shr 1;
nx(l, mid);
nx(mid+1, r);
i := l;
j := mid+1;
k := l;
while k <= r do
begin
if (j>r) or (i<=mid) and (a[i]<=a[j]) then //注意这里为等号
begin
tmp[k] := a[i];
inc(i);
end
else
begin
cnt := cnt + mid - i + 1; //加上逆序数
tmp[k] := a[j];
inc(j);
end;
inc(k);
end;
for i := l to r do
a[i] := tmp[i];
end;
这个算法复杂度为$O(n\log n)$，是一种比较理想的算法，实现起来也简单。但他有个缺点：会打乱原数组顺序。
原题代码
//AC
const
MODN = 99999997;
type
rec = record value, index: longint; end;
TArr = array [1..100000] of rec;
var
n: longint;
a, b, c, tmp: TArr;
ok: Boolean;
l, r, i, j: longint;
cnt: int64;
procedure sort(var arr: TArr; l, r: longint);
var
i, j: longint;
m, t: rec;
begin
i := l;
j := r;
m := arr[(i+j) shr 1];
repeat
while arr[i].value < m.value do inc(i);
while arr[j].value > m.value do dec(j);
if i <= j then
begin
t := arr[i];
arr[i] := arr[j];
arr[j] := t;
inc(i);
dec(j);
end;
until i >j;
if i < r then sort(arr, i, r);
if l < j then sort(arr, l, j);
end;
procedure nx(l, r: longint);
var
mid, i, j, k: longint;
begin
if l = r then
begin
tmp[l] := c[l];
exit;
end;
mid := (l + r) shr 1;
nx(l, mid);
nx(mid+1, r);
i := l;
j := mid+1;
k := l;
while k <= r do
begin
if (j>r) or (i<=mid) and (c[i].index<=c[j].index) then
begin
tmp[k] := c[i];
inc(i);
end
else
begin
cnt := cnt + mid - i + 1;
cnt := cnt mod MODN;
tmp[k] := c[j];
inc(j);
end;
inc(k);
end;
for i := l to r do
c[i] := tmp[i];
end;
begin
assign(input, 'main.in'); reset(input);
assign(output, 'main.out'); rewrite(output);
readln(n);
for i := 1 to n do
begin
read(a[i].value);
a[i].index := i;
end;
for i := 1 to n do
begin
read(b[i].value);
b[i].index := i;
end;
sort(a, 1, n);
sort(b, 1, n);
for i := 1 to n do
c[a[i].index] := b[i];
cnt := 0;
nx(1, n);
writeln(cnt);
close(input); close(output);
end.
- 事实上，只过了 70% 的点
作者：hsfzxjy
链接：
许可：CC BY-NC-ND 4.0.
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