UVa11584 Partitioning by Palindromes

2014-09-24 | Tech

这是一道区间型 DP，转移方程很简单，但在实现的过程中却遇见了很多坑，在此记录一下。链接：Link 耗时：0.368s

容易想到，前 $i$ 个数的划分情况可以由 $1,2,3,\ldots,i-1$ 的划分情况来决定。因此很容易得到状态转移方程：

$$d[i] = min(d[i], d[j]+1)$$

其中 $j = 0, 1, 2,\ldots,n-1$ 并且 $s[j+1, i]$ 为回文串，初始条件：$d[i] = i$。$d[i]$ 表示前 i 项的最小划分。这样一来状态转移的复杂度就为 $O(n^2)$。

但状态转移的判断呢？“回文串”是一个复杂的条件，判断一个串是否为回文串需要将该串至少遍历一遍。这样一来时间复杂度就上升为 $O(n^3)$ 了。而事实上在这种算法中有许多无谓的计算，因此我们可以先对字符串进行预处理：用 huiwen[i,j] 表示 $s[i,j]$ 是否为回文串（奇怪的名字。。。）。如此一来，时间复杂度就降为 $O(n^2)$ 了。

var
    s: AnsiString;
    n, _, i, j, l: integer;
    huiwen: array [1..1000, 1..1000] of boolean; //s[i,j]是否为回文串
    dp: array [0..1000] of integer; //一定从0开始，否则当整串为回文串时就考虑不到了。

function min(x,y: integer): integer;
begin
    if x<y then exit(x) else exit(y);
end;

procedure process(i,j: integer); //对回文串进行预处理
var
    mid: Integer;
    x,y: integer;
begin
    if j = i then
    begin
        huiwen[i,j] := true;
        exit;
    end;
    mid := i + (j-i+1) shr 1;
    x := i;
    y := j;
    while (x <= mid) and (s[x] = s[y]) do
    begin
        inc(x);
        dec(y);
    end;
    huiwen[i, j] := x > mid;
end;

begin
    //assign(input, 'main.in'); reset(input);
    //assign(output, 'main.out'); rewrite(output);
    readln(n);
    for _ := 1 to n do
    begin
        readln(s);
        l := length(s);
        //Pre-process
        fillchar(huiwen, sizeof(huiwen), 0);
        for i := 1 to l do
            for j := i to l do //一定是从i开始，这个错卡了我很久。
                process(i, j);
        //DP
        for i := 1 to l do
        begin
            dp[i] := i;
            for j := 0 to i-1 do
                if huiwen[j+1, i] then
                    dp[i] := min(dp[i], dp[j]+1);
        end;
        write(dp[l]);
        {if _ <>n then }writeln; //吐槽一下：一开始我还谨慎地加上这句以避免行末回车，没想到UVa居然报错了。。看来UVa的比较算法还有待改进啊。
    end;

    //close(input);close(output);
end.

作者：hsfzxjy
链接：
许可：CC BY-NC-ND 4.0.
著作权归作者所有。本文不允许被用作商业用途，非商业转载请注明出处。

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