UVa437 The Tower of Babylon

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这是刘汝佳的紫书中”DAG 中的动态规划”中的习题，我拿它用来熟悉 DAG 中的动态规划。

我们不妨进行逆向考虑：现堆上面的方块，然后考虑在下面进行叠加。这样子一来，影响决策的就只是最下面方块的尺寸了。

对于这种出现了”大套小”这样的二元关系的题，我们可以将其视为一个有向无环图：其中每个节点为一个状态，状态的转移是有固定的方向的（在此题中，状态转移为从小的方块到大的方块）。

但是这道题又不同于平常的 DAG 动态规划：若将边长视为状态的话，则要开一个巨大的数组，这是不可以接受的。因此，我们要换一种思维方式：只记录方块的序号和摆放的方式（如现将边长从小到大进行排序，然后用一个标志 k 表示当前是以第 k 小的边长作为高）。

至此，思路已经清晰了。用 $dp(i, k)$ 表示 “第 i 个方块以第 k 条边为高进行摆放” ，以下给出状态转移方程：

$$dp(i, k) = max\{dp(i, k), dp(j, k_2)\}$$

其中 $j，k_2$ 遍历所有顶面矩形比 $dp(i, k)$ 小的状态。

代码实现首次尝试了 Pascal 中的 object 类型，使其更加工整，但不可避免地损耗了一些性能。

type
    Cube = object
        a: array [1..3] of longint;
        procedure init(x,y,z: longint);
        function height(k: integer): longint;
        function low(k: integer): longint;
        function high(k: integer): longint;
    end;

function max(x,y: longint): longint;
begin
    if x>y then max := x else max := y;
end;

procedure swap(var x,y: longint);
var
    t: longint;
begin
    t := x;
    x := y;
    y := t;
end;

function Cube.height(k: integer): longint;
begin
    height := self.a[k];
end;

function Cube.high(k: integer): longint;
begin
    case k of
        1: high := a[3];
        2: high := a[3];
        3: high := a[2];
    end;
end;

function Cube.low(k: integer): longint;
begin
    case k of
        1: low := a[2];
        2,3: low := a[1];
    end;
end;

procedure Cube.init(x, y, z: longint);
begin
   if x>y then swap(x,y);
   if y>z then swap(y,z);
   if x>y then swap(x,y);
   a[1] := x;
   a[2] := y;
   a[3] := z;
end;

var
    f: array [1..30, 1..3] of longint;
    i,j,m,n,x,y,z: longint;
    cnt: longint;
    cubes: array [1..30] of Cube;

function dp(id, k: integer): longint;
var
    l, h, hi: longint;
    i, j: integer;
begin
    if f[id, k] > 0 then
        exit(f[id, k]);
    l := cubes[id].low(k);
    hi := cubes[id].height(k);
    h := cubes[id].high(k);

    f[id, k] := hi;

    for i := 1 to n do
    begin
        //if i = id then continue;  //此处在一开始时忘记考虑了立方体有无穷多个这一条件。
        for j := 1 to 3 do
        begin
            if not ((cubes[i].low(j) < l) and (cubes[i].high(j) < h)) then
                continue;
            f[id, k] := max(f[id, k], dp(i, j)+hi);
        end;
    end;

    dp := f[id, k];
end;

begin
    assign(input, 'main.in');reset(input);
    assign(output, 'main.out');rewrite(output);
    read(n);
    cnt := 0;
    while n > 0 do
    begin
        inc(cnt);
        for i := 1 to n do
        begin
            read(x,y,z);
            cubes[i].init(x,y,z);
        end;
        fillchar(f, sizeof(f), 0);

        m := 0;
        for i := 1 to n do
            for j := 1 to 3 do
                m := max(m, dp(i, j));

        writeln('Case ', cnt, ': maximum height = ', m);

        read(n);
    end;
    close(input);close(output);
end.

UVa437 The Tower of Babylon

OOPS!